Γενικές πληροφορίες
Διδάσκων: Σταύρος ΚομηνέαςΏρες γραφείου (Θ306): Τρίτη 1-2:30, Πέμπτη 2:30-4
email: komineas (at) tem.uoc.gr
Ώρες μαθήματος: Τρίτη 3-5 (ΑΜΦ Β), Πέμπτη 11-1 (ΡΑ101)
Ώρες ασκήσεων: Παρασκευή 3-5 (ΡΑ101)
Ώρες εργαστηρίου: Δευτέρα 1-3, Τρίτη 1-3.
Ύλη
Σκοπός του μαθήματοςΗ εξοικείωση με τις έννοιες και τις τεχνικές του Aπειροστικού Λογισμού πολλλών μεταβλητών. Γνωστές θεωρούνται βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας και αναλυτικής γεωμετρίας. Αναφέρονται οι ορισμοί των ορίων με στόχο την κατανόησή τους χωρίς ιδιαίτερη αυστηρότητα. Eμφαση δίνεται κυρίως στην κατανόηση των εννοιών και θεωρημάτων και στην εξάσκηση στην εφαρμογή τους. Επίσης δίνονται εφαρμογές στην επίλυση προβλημάτων από τη Φυσική και άλλες επιστήμες.
Περιεχόμενο του μαθήματος
- Διανύσματα. Παραμετρική εξίσωση καμπύλης. Πολικές συντεταγμένες.
- Διανυσματικές συναρτήσεις. Καμπύλες στον χώρο. Εφαπτομένη ευθεία. Μήκος τόξου.
- Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Γραφήματα, επιφάνειες. Iσοσταθμικές καμπύλες και επιφάνειες.
- Όριο και συνέχεια γιά συναρτήσεις πολλών μεταβλητών (διαισθητική κατανόηση).
- Μερικές παράγωγοι, διαφορισιμότητα, εφατόμενο επίπεδο.
- Ανάδελτα, κανόνας της αλυσιδωτής παραγώγισης, παράγωγος κατά κατεύθυνση. Μερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης.
- Τύπος του Taylor γιά συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων μεταβλητών. Μέγιστα και ελάχιστα συναρτήσεων δύο ή περισσοτέρων μεταβλητών.
- Πεπλεγμένες συναρτήσεις, θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων (διαισθητική κατανόηση), θεώρημα αντίστροφης απεικόνισης.
- Διπλά ολοκληρώματα, διπλά ολοκληρώματα σε γενικά χωρία. Αλλαγή σειράς ολοκλήρωσης. Θεώρημα του Fubini.
- Αλλαγή μεταβλητών γιά διπλά ολοκληρώματα.
- Τριπλά ολοκληρώματα. Αλλαγή μεταβλητών γιά τριπλά ολοκληρώματα.
- Εφαρμογές: Ροπές, κβαντικά αέρια.
Βιβλιογραφία
- [1] J. Marsden, A. Tromba, "Διανυσματικός Λογισμός", Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.
- [2] R.L. Finney, M.D. Weir, F.R. Giordano, "Thomas, Απειροστικός Λογισμός ΙΙ", Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.
- [3] J.B. Thomas, R.L. Finney, "Απειροστικός Λογισμός ΙΙ", Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.
Τρόπος διδασκαλίας και αξιολόγησης
Τρόπος διδασκαλίας- 4 ώρες (ανά εβδομάδα) θεωρητικής διδασκαλίας.
- 2 ώρες (ανά εβδομάδα) ασκήσεων στον πίνακα.
- 2 ώρες (κάθε δεύτερη εβδομάδα) ασκήσεων στον υπολογιστή. (δείτε την Ιστοσελίδα Εργαστηρίου)
- 3 φυλλάδια ασκήσεων τα οποία είναι απαραίτητο να λύσουν και να παραδώσουν οι φοιτητές εντός της καθορισμένης προθεσμίας.
Αξιολόγηση. Θα γίνει καθ' όλη την διάρκεια του εξαμήνου ως εξής:
- Τα τρία φυλλάδια θα μετρήσουν (προαιρετικά) 10% στον τελικό βαθμό.
- Το εργαστήριο matlab θα μετρήσει (υποχρεωτικά) 10% στον τελικό βαθμό.
- Το τελικό διαγώνισμα θα μετρήσει κατά το υπόλοιπο ποσοστό.
- Η βαθμολογίες των φυλλαδίων θα αναρτώνται στην ιστοσελίδα. Παρακαλούνται όλοι οι φοιτητές να ελέγξουν τους βαθμούς τους πριν τις εξετάσεις.
Στατιστικά τελικής βαθμολογίας Ιουνίου 2010:
Εγγεργαμμένοι: 260
Έδωσαν εξετάσεις (11/6/2010): 164
| βαθμός | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Αριθμός φοιτητών | 27 | 42 | 15 | 28 | 28 | 6 | 10 | 4 | 3 | 2 | 0 |
Εάν ο τελικός βαθμός είναι πάνω από 5 αυτός στρογγυλοποιείται σε ακέραιο (κατά κανόνα προς τα επάνω).
Εάν ο τελικός βαθμός είναι κάνω από 5 αυτός στρογγυλοποιείται στον κοντυνότερο ακέραιο.
Στατιστικά βαθμολογίας Σεπτεμβρίου 2010:
Έδωσαν εξετάσεις (27/8/2010): 130
| βαθμός | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Αριθμός φοιτητών | 41 | 13 | 19 | 25 | 2 | 5 | 12 | 4 | 5 | 4 | 0 |
Εάν ο τελικός βαθμός είναι πάνω από 5 αυτός στρογγυλοποιείται σε ακέραιο (κατά κανόνα προς τα επάνω).
Εάν ο τελικός βαθμός είναι κάνω από 5 αυτός στρογγυλοποιείται στον προηγούμενο ακέραιο.
Ασκήσεις
- Σειρά ασκήσεων Ι, Ημερομηνία παράδοσης: Παρασκευή 12 Μαρτίου, 3 μ.μ.
- Σειρά ασκήσεων ΙΙ, Ημερομηνία παράδοσης: Παρασκευή 23 Απριλίου, 3 μ.μ.
- Σειρά ασκήσεων ΙΙΙ, Ημερομηνία παράδοσης (στο γραφείο του διδάσκοντα): μέχρι Παρασκευή 21 Απριλίου, 3 μ.μ.
- Σειρά ασκήσεων έξτρα, γιά εξάσκηση γιά τις επόμενες εξετάσεις (παρακαλώ στείλτε τυχόν σχόλια με email ή ελάτε στο γραφείο) Θέματα εξετάσεων Ιουνίου 1
Θέματα εξετάσεων Ιουνίου 2
Θέματα εξετάσεων Σεπτεμβρίου
Σύνδεσμοι στο διαδίκτυο
- Διαδικτυακό εργαλείο γιά την κατασκευή και εποπτική μελέτη επιφανειών (surfer, από το Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach).
- Αθροίσματα Riemann: Ορισμός
- Αθροίσματα Riemann γιά συναρτήσεις δύο μεταβλητών: γραφική αναπαράσταση
- Προσέγγιση όγκου στερεού με άθροισμα όγκων παραλληλεπιπέδων: γραφική αναπαράσταση
Ημερολόγιο του Μαθήματος
Σημειώνεται επιγραμματικά η ύλη που καλύφθηκε σε κάθε μάθημα. Η ύλη που διδάχθηκε (και μόνο αυτή) αποτελεί την εξετασταία ύλη.Επίσης, δίνονται (απλώς ενδεικτικά) οι παράγραφοι από δύο βιβλία όπου περιέχεται, σε γενικές γραμμές, η ύλη. Οι παραπομπές στα δύο αυτά βιβλία είναι ενδεικτικές, οι σχετικές παράγραφοι περιλαμβάνουν και θέματα τα οποία είναι εκτός ύλης.
- Τρ 9 Φεβ: Περιγραφή του μαθήματος. Διανύσματα. Παραμετρική έκφραση ευθείας. ([1] Παρ. 1.1, [2] Παρ. 10.3)
- Πε 11 Φεβ: Εσωτερικό γινόμενο ([1] Παρ. 1.2). Εξωτερικό γινόμενο ([1] Παρ. 1.3). (επίσης: [1] Παρ. 1.5)
- Πα 12 Φεβ: Ασκήσεις.
- Τρ 16 Φεβ: Καμπύλες. Παραμετρική έκφραση καμπύλης στον R^2 και στον R^3. Συνεχείς καμπύλες. Παραγωγίσιμες καμπύλες. Εφαπτομένη ευθεία. ([2] Παρ. 9.3) ([1] Παρ. 3.1, 3.2, [2] Παρ. 10.5, 10.6)
- Πε 18 Φεβ: Μήκος τόξου ([1] Παρ. 3.2). Πολικές συντεταγμένες ([1] Παρ. 1.4, [2] Παρ. 9.5).
- Πα 19 Φεβ: Ασκήσεις.
- Εργαστήριο (matlab):
- Τρ 23 Φεβ: Επιφάνειες: κύλινδρος, ελλειψοειδές. (1 ώρα μάθημα) ([1] Παρ. 2.1, [2] Παρ. 10.4)
- Πε 25 Φεβ: Επιφάνειες: Παραβολοειδές, Υπερβολοειδή, Υπερβολικό Παραβολοειδές. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Γραφήματα και ισοσταθμικές καμπύλες. ([1] Παρ. 2.1, [2] Παρ. 10.4)
- Πα 26 Φεβ: Ασκήσεις.
- Τρ 2 Μαρ: Δεν έγινε.
- Πε 4 Μαρ: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων πολλών μεταβλητών ([1] Συμπλ. στην Παρ. 2.2, [2] Παρ. 11.1, 11.2)
- Πα 5 Μαρ: Μερικές Παράγωγοι ([1] Παρ. 2.3, [2] Παρ. 11.3).
- Εργαστήριο (matlab):
- Τρ 3 Μαρ: Μερικές Παράγωγοι. Διαφορισιμότητα. ([1] Παρ. 2.3, [2] Παρ. 11.3)
- Πε 11 Μαρ: Κανόνας αλυσιδωτής παραγώγησης. ([1] Παρ. 2.4, [2] Παρ. 11.4)
- Πα 12 Μαρ: Ασκήσεις φυλλαδίου Ι. (Παράδοση Φυλλαδίου Ασκήσεων Ι.)
- Τρ 16 Μαρ: Κλίση και παράγωγοι κατά κατεύθυνση. ([1] Παρ. 2.5, [2] Παρ. 11.5)
- Πε 18 Μαρ: Πολλαπλές μερικές παράγωγοι. ([1] Παρ. 2.6, [2] Παρ. 11.3)
- Πα 19 Μαρ: Ασκήσεις.
- Εργαστήριο (matlab):
- Τρ 23 Μαρ: Θεώρημα Taylor γιά συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων μεταβλητών. ([1] Παρ. 4.1, [2] Παρ. 11.10)
- Πε 25 Μαρ: Αργία.
- Πα 26 Μαρ: Δεν έγινε μάθημα
- Τρ 13 Απρ: Ασκήσεις.
- Πε 15 Απρ: Δεν έγινε μάθημα.
- Πα 16 Απρ: Δεν έγινε μάθημα.
- Εργαστήριο (matlab):
- Τρ 20 Απρ: Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων δύο ή περισσοτέρων μεταβλητών. ([1] Παρ. 4.2, [2] Παρ. 11.7)
- Πε 22 Απρ: Πεπλεγμένες συναρτήσεις (Ειδικό Θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης, παράγωγος πεπλεγμένης συνάρτησης, θεώρημα αντίστροφης απεικόνισης) ([1] Παρ. 4.4, [2] σελ. 875)
- Πα 23 Απρ: Ασκήσεις φυλλαδίου ΙΙ. (Παράδοση Φυλλαδίου Ασκήσεων ΙΙ.)
- Τρ 27 Απρ: Εισαγωγή στα διπλά ολοκληρώματα. ([1] Παρ. 5.1, 5.2)
- Πε 29 Απρ: Διπλά ολοκληρώματα σε ορθογώνια χωρία. Θεώρημα Fubini. Διπλά ολοκληρώματα σε γενικά χωρία. ([1] Παρ. 5.2, 5.3. [2] Παρ. 12.1)
- Πα 30 Απρ: Ασκήσεις.
- Εργαστήριο (matlab):
- Τρ 4 Μαι: Διπλά ολοκληρώματα σε γενικά χωρία ([1] Παρ. 5.2, 5.3). Αλλαγή σειράς ολοκλήρωσης γιά διπλά ολοκληρώματα ([1] Παρ. 5.4).
- Πε 6 Μαι: Απεικονίσεις από τον R2 στον R2 ([1] Παρ. 6.2). Αλλαγή μεταβλητών γιά διπλά ολοκληρώματα ([1] Παρ. 6.3).
- Πα 7 Μαι: Ασκήσεις.
- Τρ 11 Μαι: Αλλαγή μεταβλητών γιά διπλά ολοκληρώματα. ([1] Παρ. 6.3)
- Πε 13 Μαι: Τριπλά ολοκληρώματα. ([1] Παρ. 6.1, [2] Παρ. 12.4)
- Πα 14 Μαι: Ασκήσεις. Εφαρμογές διπλών και τριπλών ολοκληρωμάτων.
- Εργαστήριο (matlab):
- Τρ 18 Μαι: Αλλαγή μεταβλητών γιά τριπλά ολοκληρώματα. ([1] Παρ. 6.3, [2] Παρ. 12.6)
- Πε 20 Μαι: Ακρότατα υπό συνθήκη, πολλαπλασιαστές Lagrange ([2] Παρ. 11.8). Ασκήσεις.
- Πα 21 Μαι: Ασκήσεις φυλλαδίου ΙΙΙ. (Παράδοση φυλλαδίου ασκήσεων ΙΙΙ.)
Διακοπές Πάσχα