Μεταπτυχιακό μάθημα EM 504-1

Εφαρμοσμένη Συναρτησιακή Ανάλυση 1

 

Χειμερινό Εξάμηνο 2015

 

Διδάσκων: Γεώργιος Μακράκης, Δ-332, Κτίριο Μαθηματικών, Πανεπιστημιούπολη Βουτών,

Τηλ.  2810 393708, E-mail: makrakg@uoc.gr



Ώρες διαλέξεων: ΔΕ 9-11, ΠΑ 9-11 (αίθουσα Α208)

Ώρες γραφείου: ΔΕ 11-1, ΠΑ 11-1

____________________________________________________________________________

 Περιεχόμενα του μαθήματος:

Ολοκλήρωμα Riemann-Stieltjes: Ορισμός , ιδιότητες, κλιμακωτές συναρτήσεις ως ολοκληρωτές, μονότονα αύξοντες ολοκληρωτές, ανω και κάτω ολοκλήρωμα, συνθήκη Riemann, ολοκληρωτές φραγμένης μεταβολής, ικανές και αναγκαίες συνθήκες ύπρξης του ολοκληρώματος, το ολοκλήρωμα ως συνάρτηση του διαστήματος ολοκλήρωσης, εναλλαγή διαφόρισης και ολοκλήρωσης, εναλλαγή ολοκληρωμάτων, κριτήριο Lebesgue γιά την ύπαρξη του ολοκληρώματος Riemann.

“Κλασσική” προσέγγιση στο μονοδιάστατο ολοκλήρωμα Lebesgue : ολοκλήρωμα κλιμακωτών συναρτήσεων, μονότονες ακολουθίες κλιμακωτών συναρτήσεων, άνω συναρτήσεις και ολοκληρώματα αυτών, η κλάση των ολοκληρωσίμων κατά Lebesgue συναρτήσεων σε γενικό διάστημα, βασικές ιδιότητες του ολοκληρώματος Lebesgue, ολοκλήρωση κατά Lebesgue και σύνολα μηδενικού μέτρου, το θεώρημα μονότονης σύγκλισης του Levi, το θεώρημα της κυριαρχούσας σύγκλισης του Lebesgue και εφαρμογές αυτού, ολοκληρώματα Lebesgue σε μη φραγμένα διαστήματα ως όρια ολοκληρωμάτων σε φραγμένα διαστήματα, γενικευμένα ολοκληρώματα Riemann, μετρήσιμες συναρτήσεις, συνέχεια συναρτήσεων που ορίζονται μέσω ολοκληρωμάτων Lebesgue, εναλλαγή παραγώγου και ολοκληρώματος Lebesgue, εναλλαγή ολοκληρώμάτων Lebesgue, μετρήσιμα σύνολα στην παγματική ευθεία, το ολοκλήρωμα Lebesgue σε αυθαίρετα υποσύνολα της πραγματικής ευθείας, εσωτερικά γινόμενα και νόρμες, το σύνολο L^{2}(I) των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, συγκλιση σειρών συναρτήσεων στον χώρο L^{2}(I), το θεώρημα των Riesz-Fischer.

 Σειρές και ολοκληρώματα Fourier: Ορθογώνια συστήματα συναρτήσεων, το θεώρημα της βέλτιστης προσέγγισης, ανάπτυγμα συνάρτησης σε σειρά Fourier ως προς ένα ορθοκανονικό σύστημα, ιδιότητες των συντελεστών Fourier, το θεώρημα Riesz-Fischer, ερωτήματα σύγκλισης και αναπαραστασιμότητας σε σειρές Fourier, το λήμμα των Riemann- Lebesgue, ολοκλήρωμα Dirichlet, το θεώρημα εντοπισμού του Riemann, το ολοκληρωτικό θεώρημα Fourier και η εκθετική μορφή του, ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί και συνελίξεις, συνέλιξη μετασχηματισμών Fourier, τύπος άθροισης του Poisson.

Πολλαπλά ολοκληρώματα Lebesgue: Μετρήσιμα σύνολα και μετρήσιμες συναρτήσεις στον R^n, θεώρημα Fubini για την αναγωγή διπλού ολοκληρώματος, μερικές ιδιότητες των συνόλων μηδενικού μέτρου, το τέστ ολοκληρωσιμότητας των Tonelli-Hobson, αλλαγή συντεταγμένων και ο μετασχηματισμός διπλών ολοκληρωμάτων.

Βασικές ιδέες απο τη “μοντέρνα” θεωρία μέτρου: Συνολοσυναρτήσεις επί γενικών συνόλων, κατασκευή του μέτρου Lebesgue, μετρήσιμοι χώροι και μετρήσιμες συναρτήσεις, εφαρμογή στο μονοδιάστατο ολοκλήρωμα και σύνδεση με την “κλασσική” προσέγγιση.

Βιβλιογραφία:

  1. Apostol, T.M., Mathematical Analysis (2nd ed.), Addison-Wesley Publ. Co., Inc. 1974.

  2. Riesz, F. & Sz.-Nagy, B., Functional Analysis, Dover Publ., Inc., 1990.

  3. Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.), McGraw-Hill Book Co., 1976.

  4. Kolmogorov, A.N., & Fomin, S.V., Introductory Real Analysis, Dover Publ., 1975.

  5. Bartle, R.G., The Elements of Integration and Lebesgue Measure, John Wiley &Sons, Inc., I966.

  6. Bartle, R.G., A Modern Theory of Integration, Grad. Studie Math. 32, AMS, 2001.

  7. Bogachev, V.I., Measure Theory, vol. 1, Springer-Verlag, 2007.

  8. Strichartz, R.S., The Way of Analysis, Jones & Bartlett, Publ., Inc., 2000.



_________________________________________________________________________________________________________

Ανακοινώσεις:

 1. Διαγνωστικό διαγώνισμα σε θέματα Ανάλυσης: 23/10/2015, ώρα: 12-15

Σκοπός του διαγωνίσματος είναι η διαπίστωση της υπάρχουσας κατανόησης στα:όρια, συνέχεια, ακολουθίες και σειρές, ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων

2.Θέματα για ανάπτυξη & παρουσίαση στην τάξη: 4-5/2/2016, ώρα 9-12

Θα επιλεγουν και θα παρουσιασθούν από τους φοιτητές, έννοιες και χρήσιμα θεωρήματα από τη “μοντέρνα” θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης (κεφάλαια 7, 8, 10 από Kolmogorov, A.N., & Fomin, S.V., Introductory Real Analysis, Dover Publ., 1975, κεφάλαια 3 & 4 από Bogachev, V.I., Measure Theory, vol. 1, Springer-Verlag, 2007), και εφαρμογές τους.

 



 

_________________________________________________________________________________________________

Ασκήσεις προς επίλυση:

 1η σειρά ασκήσεων: Ολοκλήρωμα Riemann-Stieltjes (α)

2η σειρά ασκήσεων: Ολοκλήρωμα Lebesgue